📅 Zaman Serisi

Zaman Serisi Analizi: ARIMA Modeline Giriş

Zaman içinde düzenli aralıklarla toplanan verilerle çalışıyorsanız, geleneksel istatistik yöntemleri yetersiz kalabilir. Hisse senedi fiyatları, aylık satış rakamları, günlük hava sıcaklıkları veya yıllık ekonomik göstergeler gibi veriler zaman serisi yapısındadır. Bu tür verilerde gözlemler birbirinden bağımsız değildir; dünün değeri bugünü, geçen haftanın değeri bu haftayı etkiler. ARIMA modeli bu bağımlılığı yakalamak için Box ve Jenkins (1976) tarafından sistematik hale getirilmiştir.

Zaman Serisi Bileşenleri

Bir zaman serisini anlamak için önce onu bileşenlerine ayırmak gerekir:

• Trend: Uzun dönemli yükseliş veya düşüş eğilimi. Örneğin bir şirketin yıllık satışlarının genel artış trendi.
• Mevsimsellik (Seasonality): Belirli dönemlerde tekrar eden örüntüler. Örneğin her yaz artan dondurma satışları veya her Aralık'ta yoğunlaşan perakende satışlar.
• Döngüsellik (Cyclicality): Mevsimden bağımsız, daha uzun süreli ve düzensiz dalgalanmalar. Ekonomik konjonktür döngüleri bunun örneğidir.
• Artık (Residual/Noise): Trend, mevsimsellik ve döngüsellik açıklandıktan sonra geriye kalan açıklanamaz varyasyon.

Durağanlık (Stationarity) Nedir?

ARIMA modelinin temel ön koşulu serinin durağan olmasıdır. Durağan bir seri, zaman içinde sabit bir ortalama, sabit varyans ve zaman bağımsız bir otokovaryans yapısına sahiptir. Trend içeren veya mevsimsellik gösteren seriler durağan değildir.

ADF Testi ile Durağanlık Sınaması

Augmented Dickey-Fuller (ADF) testi, serinin birim kök içerip içermediğini (yani durağan olmadığını) sınar. Sıfır hipotezi "seri durağan değildir (birim kök vardır)" şeklinde kurulur:

• p < .05 → H₀ reddedilir, seri durağandır
• p ≥ .05 → H₀ reddedilemez, seri durağan değildir, fark alınmalıdır

Python'da statsmodels kütüphanesi ile adfuller() fonksiyonu, R'da ise tseries paketindeki adf.test() fonksiyonu bu testi uygular.

ARIMA(p, d, q) Parametreleri

ARIMA modeli üç parametreyle tanımlanır:

Parametre	Adı	Anlamı
p	AR (Otoregresif) terimi	Geçmiş kaç gözlemin modele dahil edildiği
d	Fark alma derecesi	Durağanlık için kaç kez fark alındığı
q	MA (Hareketli Ortalama) terimi	Geçmiş kaç hatanın modele dahil edildiği

Örneğin ARIMA(1,1,1): bir önceki gözlemi kullanan, bir kez fark alınmış ve bir önceki hatayı içeren bir modeldir. d=0 ise seri zaten durağandır; d=1 ise bir kez fark alınmıştır.

ACF ve PACF Grafikleri ile Parametre Seçimi

p ve q değerlerini belirlemek için otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafikleri kullanılır:

• PACF grafiği: Belirli bir gecikmede (lag) keskin bir düşüş gösteriyorsa bu gecikme p değerini işaret eder (AR terimi).
• ACF grafiği: Belirli bir gecikmede keskin bir düşüş gösteriyorsa bu gecikme q değerini işaret eder (MA terimi).

Hyndman ve Athanasopoulos'un (2021) önerdiği otomatik auto.arima() fonksiyonu (R) veya Python'da pmdarima kütüphanesindeki auto_arima() AIC kriterini minimize ederek en iyi ARIMA modelini otomatik seçer.

Mevsimsel ARIMA: SARIMA

Mevsimsellik içeren seriler için SARIMA (Seasonal ARIMA) modeli kullanılır. SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m şeklinde ifade edilir; burada m mevsimsellik periyodunu (örneğin aylık veri için m=12) belirtir. Turizm istatistikleri, aylık elektrik tüketimi veya çeyreklik satış verileri SARIMA'nın tipik uygulama alanlarıdır.

Kaynaklar

• Box, G. E. P., & Jenkins, G. M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day.
• Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2021). Forecasting: Principles and Practice (3rd ed.). OTexts. otexts.com/fpp3